复数计算

复数计算遵循以下基本法则：

加法

设复数 \\（ z_1 = a + bi \\） 和 \\（ z_2 = c + di \\），则它们的和为：

\\[ z_1 + z_2 = （a + c） + （b + d）i \\]

减法

设复数 \\（ z_1 = a + bi \\） 和 \\（ z_2 = c + di \\），则它们的差为：

\\[ z_1 - z_2 = （a - c） + （b - d）i \\]

乘法

设复数 \\（ z_1 = a + bi \\） 和 \\（ z_2 = c + di \\），则它们的积为：

\\[ z_1 \\cdot z_2 = （ac - bd） + （ad + bc）i \\]

除法

设复数 \\（ z_1 = a + bi \\） 和 \\（ z_2 = c + di \\），则它们的商可以通过乘以分母的共轭复数来简化计算：

\\[ \\frac{z_1}{z_2} = \\frac{a + bi}{c + di} \\times \\frac{c - di}{c - di} = \\frac{（ac + bd） + （bc - ad）i}{c^2 + d^2} \\]

开方

设复数 \\（ z = r（\\cos \\theta + i \\sin \\theta） \\），则它的n次幂为：

\\[ z^n = r^n（\\cos n\\theta + i \\sin n\\theta） \\]

棣莫佛定理

对于复数 \\（ z = r（\\cos \\theta + i \\sin \\theta） \\），有：

\\[ z^n = r^n \\cos n\\theta + i r^n \\sin n\\theta \\]

特殊情况

当 \\（ b = 0 \\） 时，\\（ z \\） 是实数。

当 \\（ a = 0 \\） 且 \\（ b \\neq 0 \\） 时，\\（ z \\） 是纯虚数。

示例

计算 \\（ （1 + 2i） + （3 - 4i） \\）：

\\[ （1 + 2i） + （3 - 4i） = 4 - 2i \\]

计算 \\（ （1 + 2i） \\cdot （3 + 4i） \\）：

\\[ （1 + 2i） \\cdot （3 + 4i） = （1 \\cdot 3 - 2 \\cdot 4） + （1 \\cdot 4 + 2 \\cdot 3）i = -5 + 2i \\]

计算 \\（ \\frac{1 + 2i}{3 + 4i} \\）：

\\[ \\frac{1 + 2i}{3 + 4i} = \\frac{（1 \\cdot 3 + 2 \\cdot 4） + （1 \\cdot 4 - 2 \\cdot 3）i}{3^2 + 4^2} = \\frac{11 - 2i}{25} = \\frac{11}{25} - \\frac{2}{25}i \\]

以上是复数的基本运算规则。

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